spelletje
Opgave - NWO 1997 vraag 3
a) Bekijk de tweedegraadsvergelijking $x^2+?x+?=0$. Twee spelers zetten achtereenvolgens elk op de plaats van een vraagteken een geheel getal. Toon aan dat de tweede speler er altijd voor kan zorgen dat de vergelijking twee gehele oplossingen krijgt.
Nota bene: we zeggen dat de vergelijking ook twee gehele oplossingen heeft, en wel twee gelijke (allebei gelijk aan 3).
b) Bekijk de derdegraadsvergelijking $x^3+?x^2+?x+?=0$. Drie spelers zetten achtereenvolgens elk op de plaats van een vraagteken een geheel getal. De vergelijking blijkt drie gehele (waarbij weer eventueel gelijke) oplossingen te hebben. Gegeven is dat twee spelers elk een 3 op de plaats van een vraagteken gezet hebben. Welk getal heeft de derde speler gezet? Bepaal dat getal en de plaats waar het gezet is en bewijs dat er maar één getal mogelijk is.
- login om te reageren
Oplossing
a)
Stel de twee getallen zijn respectievelijk $b$ en $c$ met $b,c \in \mathbb{Z}$ zodat
$x^2+bx+c=0$.
De oplossingen zijn $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4c}}{2}$.
$x_1, x_2 \in \mathbb{Z} $
$\Leftrightarrow \exists z \in \mathbb{Z} \colon (z^2 = b^2 - 4c \wedge b \equiv z \mod 2)$
$\Leftrightarrow \exists z \in \mathbb{Z} \colon (c = \frac{b+z}{2} \frac{b-z}{2} \wedge b \equiv z \mod 2)$
$\Leftarrow \exists z \in \mathbb{Z} \colon (c = \frac{b+z}{2} \wedge 1 = \frac{b-z}{2})$
$\Leftrightarrow c = b-1 \wedge \exists z \in \mathbb{Z} \colon z = b-2$
$\Leftrightarrow c = b-1 $.
Het volstaat dus $c$ één kleiner dan $b$ te kiezen, of $b$ één groter dan $c$ te kiezen.
De oplossingen zijn dan $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4b+4}}{2} = \frac{-b \pm \vert b-2 \vert}{2}$.
En inderdaad $ \left \{ x_1, x_2 \right \} = \left \{ -1, 1-b \right \} \subset \mathbb{Z}$.
b)
Stel de drie getallen zijn respectievelijk $a$, $b$ en $c$ met $a,b,c \in \mathbb{Z}$ zodat
$x^3+ax^2+bx+c=0$.
Stel de drie nulwaarden zijn $p$, $q$ en $r$ met $p,q,r \in \mathbb{Z}$ en $p \leq q \leq r$. Dan
$x^3+ax^2+bx+c = (x-p)(x-q)(x-r) = x^3-(p+q+r)x^2+(pq+qr+rp)x-pqr$
$\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
a = -(p+q+r) \\
b = pq+qr+rp \\
c = -pqr
\end{matrix}\right. $.
Stel $c = 3$. Vermits $c = -pqr$ is dan
ofwel $(p,q,r)= (-1,1,3)$ en dus $(a,b,c) =(-3, -1, 3)$,
ofwel $(p,q,r) = (-3,1,1)$ en dus $(a,b,c) =(1, -5, 3)$.
Beide oplossingen zijn te verwerpen omdat ze geen twee drieën bevatten.
Dus $c \neq 3$, waardoor $a=b=3$.
Er geldt $(p+q+r)^2 = p^2+q^2+r^2+2(pq+qr+rp)$
$\Rightarrow a^2 = p^2+q^2+r^2+2b$
$\Rightarrow 3 = p^2+q^2+r^2$
$\Rightarrow \vert p \vert , \vert q \vert , \vert r \vert < \sqrt{3}$ en dus $\vert p \vert = \vert q \vert = \vert r \vert = 1$.
Verder moet
$\left\{\begin{matrix}
3 = -(p+q+r) \\
3 = pq+qr+rp \\
\end{matrix}\right. $.
De enige oplossing die voldoet is $(p,q,r) = (-1,-1,-1)$.
$c=-pqr=1$ en dus $(a,b,c) = (3,3,1)$.
Het unieke getal is $1$ en is op de derde plaats gezet.