productfunctie
Opgave - NWO 1997 vraag 1
Bij elk natuurlijk getal $n$ definiëren we $f(n)$ als het product van de som van de cijfers van $n$ met $n$ zelf. Voorbeelden: $f(19)=(1+9)\cdot19=190$ en $f(97)=(9+7)\cdot97=1552$. Toon aan dat er geen getal $n$ bestaat met $f(n)=19091997$.
- login om te reageren
Oplossing
Merk op dat $19091997=3^3.707111$ en dat er geen andere factoren $3$ in zitten.
Merk ook op dat een getal deelbaar is door $9$ aesa de som van de cijfers dit ook is.
Stel nu dat er een functiewaarde bestaat die een getal oplevert dat (precies) deelbaar is door $27$, dan is minstens $1$ van de twee termen in het product deelbaar door $9$ (PHP). Maar zoals hierboven vermeld moet de andere term dan ook deelbaar zijn door $9$, wat nooit kan. We bekomen een contradictie aka QED. $\blacksquare$