bollen stapelen
Opgave - NWO 1995 vraag 4
Een aantal bollen, allemaal straal 1, wordt in de vorm van een vierzijdige piramide op elkaar gestapeld. Om te beginnen een vierkant van $n\times n$ bollen als basis, daarop een laag van $(n-1)\times (n-1)$ bollen, en zo verder tot en met de bovenste laag die uit 1 bol bestaat. Wat is de hoogte van deze stapeling?
- login om te reageren
Oplossing
Iedere bol ligt op 4 andere bollen. Noemen we de middelpunten van die vier bollen in wijzerszin $A,B,C$ en $D$ en die van de vijfde $E$. Bekijken we de driehoek gevormd door $A,C$ en $E$. De halve basis heeft lengte $\sqrt{2}$ de zijde $AE$ heeft lengte $2$ en de hoogte dus $\sqrt{2}$. De bol rond $E$ steekt dus $\sqrt{2}$ uit boven de andere vier bollen. De eerste laag bollen heeft dus hoogte $2$ en iedere nieuwe rij voegt daar $\sqrt(2)$ aan toe. De totaal hoogte is dus $2+(n-1)\sqrt(2)$