som van machten

Opgave - NWO 1994 vraag 3

a) Bewijs dat elk veelvoud van 6 te schrijven is als de som van vier derde machten van gehele getallen.
b) Bewijs dat elk geheel getal te schrijven is als de som van vijf derde machten van gehele getallen.

Oplossing

a) $(x+1)^3-x^3-x^3+(x-1)^3$
$=x^3+3x^2+3x+1-x^3-x^3+x^3-3x^2+3x-1$
$=6x$

b) elk getal is schrijfbaar als $6k-2,6k+1,6k,6k+1,6k+2$ of $6k+3$.

$6k-2$
$x^3-(x-1)^3-(x-1)^3+(x-2)^3-2^3=6(x-1)-2$

$6k+1$
$(x+1)^3-x^3-x^3+(x-1)^3+(-1)^3=6x-1$

$6k$
$(x+1)^3-x^3-x^3+(x-1)^3+0^3=6x$

$6k+1$
$(x+1)^3-x^3-x^3+(x-1)^3+1^3=6x+1$

$6k+2$
$(x+2)^3-(x+1)^3-(x+1)^3+x^3+2^3=6(x+1)+2$

$6k+3$
$(x+5)^3-(x+4)^3-(x+4)^3+(x+3)^3+3^3=6(x+4)+3$
$\blacksquare$