som van machten
Opgave - NWO 1994 vraag 3
a) Bewijs dat elk veelvoud van 6 te schrijven is als de som van vier derde machten van gehele getallen.
b) Bewijs dat elk geheel getal te schrijven is als de som van vijf derde machten van gehele getallen.
- login om te reageren
Oplossing
a) $(x+1)^3-x^3-x^3+(x-1)^3$
$=x^3+3x^2+3x+1-x^3-x^3+x^3-3x^2+3x-1$
$=6x$
b) elk getal is schrijfbaar als $6k-2,6k+1,6k,6k+1,6k+2$ of $6k+3$.
$6k-2$
$x^3-(x-1)^3-(x-1)^3+(x-2)^3-2^3=6(x-1)-2$
$6k+1$
$(x+1)^3-x^3-x^3+(x-1)^3+(-1)^3=6x-1$
$6k$
$(x+1)^3-x^3-x^3+(x-1)^3+0^3=6x$
$6k+1$
$(x+1)^3-x^3-x^3+(x-1)^3+1^3=6x+1$
$6k+2$
$(x+2)^3-(x+1)^3-(x+1)^3+x^3+2^3=6(x+1)+2$
$6k+3$
$(x+5)^3-(x+4)^3-(x+4)^3+(x+3)^3+3^3=6(x+4)+3$
$\blacksquare$