rij
Opgave - NWO 1994 vraag 2
Gegeven is een rij getallen $a_0,a_1,a_2,\ldots$ waarvoor geldt: $a_0=2$, $a_1=3$ en $a_{n+1}=2a_{n-1}$ of $a_{n+1}=3a_n-2a_{n-1}$ voor alle $n\geq1$. Bewijs dat geen enkel getal tussen 1600 en 2000 in de rij voor komt.
- login om te reageren
Oplossing
Als twee opeenvolgende termen het dubbel zijn van elkaar (stel a en 2a), zijn alle volgende termen van de vorm $a2^k$, want bij het eerste voorschrift is dit triviaal (er wordt slechts vermenigvuldigt met twee) en bij het tweede voorschrift kunnen we het makkelijk inzien: $a_{n+1}=3*2a-2a=4a$, wat ook neerkomt op vermenigvuldigen met een tweemacht.
wegens alinea 1 moeten we enkel de rij bestuderen gevormd door $a_{n+1}=3a_n-2a_{n-1}$ op een macht van $2$ na beschouwen.
We kunnen een expliciete formule voor de n-de term opstellen per inductie, dat is $2^n+1$
[want waar voor $a_0,a_1$ en $a_{n+1}=3*2a_n-2a_{n-1}= 3(2^n+1)-2(2^{n-1}+1)=2^{n+1}+1$]
Iedere term zal dus van de vorm $2^n+2^m$ zijn en zo'n term kan niet tussen $2^{10}+2^{9}=1536$ en $2^{11}=2048}$ liggen.