IMC 2015

Dag 1

Vraag 1

Zij $A,B$ reele, vierkante matrices.
Stel dat $A^{-1}+B^{-1}=(A+B)^{-1}$, bewijs dat $det\ A= det\ B$.

Geldt dit ook als $A,B$ complexe vierkante matrices zijn?

Vraag 2

Noteer voor een natuurlijk getal $ n$ met$ f(n)$ het natuurlijk getal bekomen door in de binaire schrijfwijze van $n$ elke $0$ in een $1$ te veranderen en vice versa. Bijvoorbeeld, $n=23$ is $10111_2$ in het binair, dus $ f(n)=01000_2=8$. Bewijs dat
$${\color{white}a\qquad\qquad}\qquad\sum_{k=1}^nf(k)\le \frac{n^2}4.$$
Wanneer geldt gelijkheid?

Vraag 3

Zij $F(0)=0, F(1)=\frac 32$ en $ F(n)=2.5 F(n−1)−F(n−2) $ voor $n \ge 2$.

Is de oneindige som $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{F(2^n)}$ een rationaal getal?

Dag 2

Vraag 1

Bewijs dat $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt n (n+1)} <2$.