IMC 2006

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Zij $f\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$. Geef voor elk van volgende beweringen een bewijs of een tegenvoorbeeld:

  1. Als $f$ continu en surjectief is, dan is $f$ monotoon.
  2. Als $f$ monotoon en surjectief is, dan is $f$ continu.
  3. Als $f$ monotoon en continu is, dan is $f$ surjectief.

(merk op: $f$ surjectief betekent hier dat $\text{range}(f)=\mathbb{R}$)

[/]

Vraag 2 Opgelost!

Vind het aantal positieve gehele getallen $x$ van niet meer dan 2006 cijfers waarvoor $x^2-x$ deelbaar is door $10^{2006}$.

Vraag 3

Zij $A\in\mathbb{Z}^{n\times n}$ en zij $\det A=b_1\cdot b_2\cdots b_n$ met $b_i\in\mathbb{Z}$. Toon aan dat er matrices $B_1,...,B_k\in\mathbb{Z}^{n\times n}$ bestaan zodat $A=B_1\cdot B_2\cdots B_n$ en $\det B_i=b_i$ voor $i=1,...,k$.

Om conventieproblemen te vermijden: $0 \in \mathbb{Z}$.

Vraag 4

Zij $f$ een rationale functie (d.i. het quotiënt van twee reële veeltermen) zodat $f(n)$ een geheel getal is voor oneindig veel gehele waarden van $n$. Toon aan dat $f$ een veelterm is.

Vraag 5 Opgelost!

Zij $a,b,c,d,e\in\mathbb{R}^+$ met $a^2+b^2+c^2=d^2+e^2$ en $a^4+b^4+c^4=d^4+e^4$. Welke ongelijkheid geldt er tussen $a^3+b^3+c^3$ en $d^3+e^3$?

Vraag 6

Vind alle rijen reële getallen $a_0,a_1,...,a_n$ (met $n\ge1$ en $a_n\not=0$) waarvoor de volgende bewering klopt:

Als $f\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ een $n$ maal afleidbare functie is en $x_0$<$x_1$<$...$<$x_n$ reële getallen zijn met $f(x_0)=f(x_1)=...=f(x_n)=0$, dan bestaat er een $h\in]x_0,x_n[$ waarvoor $$a_0f(h)+a_1f'(h)+...+a_nf^{(n)}(h)=0.$$

Dag 2

Vraag 1

Zij $V$ een convexe veelhoek met $n$ hoekpunten. Een veelhoek kan getriangulariseerd worden als er niet-overlappende driehoeken bestaan met de hoekpunten van $V$ als hoekpunten die $V$ volledig bedekken.

  1. Toon aan dat als $3|n$ dat $V$ dan getriangulariseerd kan worden zodat ieder hoekpunt een hoekpunt is van een oneven aantal driehoeken.
  2. Toon aan dat als $3\not|n$ dat $V$ dan getriangulariseerd kan worden zodat er precies 2 hoekpunten de hoekpunten van een even aantal driehoeken zijn (en de rest dus een oneven aantal).

[/]

Vraag 2

Vind alle functies $f\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ zodat $\forall a,b\in\mathbb{R}$ met $b>a$ geldt dat $f\left([a,b]\right)$ een interval van lengte $b-a$ is.

Vraag 3

Welke ongelijkheid geldt er tussen $\tan(\sin x)$ en $\sin(\tan x)$ voor $x\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$?

Vraag 4

Zij $v_0$ de nulvector van $\mathbb{R}^n$ en zij $v_1,...,v_{n+1}$ vectoren in $\mathbb{R}^n$ zodanig dat de Euclidische norm $|v_i-v_j|$ rationaal is voor $0\le i,j\le n+1$.
Toon aan dat $v_1,...,v_{n+1}$ lineair afhankelijk zijn over $\mathbb{Q}$.

Vraag 5

Toon aan dat er oneindig veel onderling ondeelbare koppels $(m,n)$ van positieve gehele getallen bestaan zodanig dat de vergelijking $(x+m)^3=nx$ drie verschillende gehele wortels heeft.

Vraag 6

Zij $A_i,B_i,S_i \in \mathbb{R}^{2\times 2}$ inverteerbare matrices ($i=1,2,3$) zodat

  • niet alle $A_i$ een gemeenschappelijke reële eigenvector hebben,
  • $A_i=S_i^{-1}B_iS_i$ voor $i=1,2,3$,
  • $A_1A_2A_3=B_1B_2B_3= \left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)$.

Toon aan dat er een reële inverteerbare matrix $S$ bestaat zodat $A_i=S^{-1}B_iS$ voor $i=1,2,3$.

[/]