IMC 2005

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Zij $A$ een $n*n$ matrix, zodat $a_{ij}= i + j$, $\forall i, j \in 1, 2, \cdots , n.$ Wat is de rang van $A$?

Dag 2

Vraag 1

$ f(x)=x^2+bx+c $ is een veelterm waarbij $b,c $ reeel zijn.
Zij $M$ de verzameling die alle reeele $x$ bevatten zodat $|f(x)|\le 1$.
Bewijs dat $ |M|\leq 2\sqrt{2} $ (som lengten van de intervallen)

Vraag 6

Bewijs dat als $p$ en $q$ rationale getallen zijn, waarvoor $r=p+q \sqrt7$ , er gehele $a,b,c,d$ met $ad-bc =1$ en $(b,c)\not=0$ bestaan zodat $\frac{ar+b}{cr+d}=r$.