IMC 2002

Dag 1

Vraag 2

Bestaat er een continu, afleidbare functie $f$: $\mathbb R \to \mathbb R$ zodat geldt dat $ f'(x) = f(f(x)) $ en $f(x)>0$ $\forall x \in \mathbb R.$

Vraag 3

Zij n een natuurlijk getal en schrijf $a_k = \frac{1}{n \choose k}, b_k = 2^{k-n},\ (k=1..n)$. Bewijs dat $\sum_{k=1}^n \frac{a_k-b_k}{k} = 0$

Dag 2

Vraag 2 Opgelost!

$200$ personen namen deel aan een wedstrijd waarbij iedere v.d. $6$ vragen door minstens $120$ deelnemers werd opgelost. Bewijs dat er $2$ personen zijn zodat iedere vraag door minstens $1$ v.d. $2$ is opgelost.
***
opmerking: deze triviale vraag zou ook nog gelden als $120$ vervangen is door $101.$
Wat voor $100?$