IMC 2000

Dag 1

Vraag 1

Zij $f$:$ [0,1]\to [0,1]$
a) $f$ monotoon stijgend
b) $f$ monotoon dalend
Bestaat er een waarde $x \in [0,1]$ zodat $f(x)=x?$

Dag 2

Vraag 1

(a) Toon aan dat het eenheidsvierkant verdeeld kan worden in $n$ kleinere vierkantjes, als $n$ groot genoeg is.
(b) Zij $d\ge2$. Toon aan dat er een constante $N(d)$ is zodat $\forall n\ge N(d)$ geldt dat een $d$-dimensionale kubus kan verdeeld worden in $n$ kleinere $d$-dimensionale kubussen.