IMC 1998

Dag 1

Vraag 1

Zij $V$ een 10-dimensionale reele vectorruimte en $U_1,U_2$ $2$ lineaire subruimtes zodat $U_1 \subseteq U_2, \dim U_1 =3, \dim U_2=6$.
Zij $\varepsilon$ de verzameling van de lineaire transformaties $T V\rightarrow V$ die voldoen aan $T(U_1)\subseteq U_1, T(U_2)\subseteq U_2$. Bereken de dimensie van $\varepsilon$. ( werken dus enkel met reele vectorruimtes)

Vraag 2

Beschouw volgende uitspraak:
Voor elke permutatie $\pi_1\not=\mathbb{I}$ of $\{1,2,...,n\}$ is er een permutatie $\pi_2$ zodat elke permutatie op deze getallen verkregen kan worden met een eindige samenstelling van $\pi_1$ en $\pi_2$.

(a) Bewijs dat dit geldt voor $n=3$ en $n=5$.
(b) Bewijs dat dit niet mogelijk is voor $n=4$

Vraag 6

Zij $f [0,1] \to \mathbb{R}$ een continu functie waarvoor geldt dat $\forall x,y \in [0,1]$ $xf(y)+yf(x)\le 1.$
Bewijs dat $\int_{0}^{1}f(x)dx \le \frac{\pi}{4}$ en vind een functie waarvoor gelijkheid geldt.

Dag 2

Vraag 1

$ V$ is een reeele vectorruime met $f, f_1, f_2,\cdots, f_k$ lineaire transformaties van $V$
naar $\mathbb R$. Veronderstel dat $ f(x) = 0 $ als $ f_1(x) = f_2(x) = \cdots = f_k(x) = 0. $
Bewijs dat $f$ een lineaire combinatie is van $ f_1, f_2, \cdots, f_k.$