IMC 1995

Dag 1

Vraag 1

Zij $X$ een niet-singuliere $n\times n$ matrix met kolommen $X_1,...,X_n$, en zij $Y$ de matrix met kolommen $X_2,...,X_n,0$. Toon aan dat $A=YX^{-1}$ en $B=X^{-1}Y$ beide rang $n-1$ hebben, en alle eigenwaarden gelijk aan $0$.

Dag 2

Vraag 1

Zij $A\in\mathbb{R}^{3\times3}$ zodat $\forall \vec{u}\in\mathbb{R}^{3\times1}$ geldt: $\left(A\vec{u})\cdot \vec{u}=0$. Bewijs dat:

(a) $A^T=-A$,

(b) $\exists \vec{v}\in\mathbb{R}^{3\times 1}$ waarvoor $\forall \vec{u}\in\mathbb{R}^{3\times 1} A\vec{u}=\vec{v}\times\vec{u}$.