reeks 1 2012

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

$n \in \mathbb N$, bepaal alle getallen $x$ waarvoor geldt dat

$$0=1+x+\frac{x(x+1)}{2!}+\cdots+ \frac{x(x+1)\cdots (x+n)}{(n+1)!}$$

Vraag 2

Zij $I$ een interval en $f I \to \mathbb R$ een convexe functie.
D.w.z. $\forall a,b \in I$ en $\forall \lambda \in [0,1]$ geldt $$f(\lambda a+(1- \lambda)b)) \le \lambda f(a)+ (1-\lambda)f(b).$$

Bewijs dan dat $\forall a,b,c \in I$ met $a \le b \le c$ geldt dat $$f(b)+f(a+c-b) \le f(a)+f(c).$$

Vraag 3 Opgelost!

Bewijs dat in een groep van $6$ personen er $3$ personen te vinden zijn die elkaar niet kennen of elkaar wel kennen.

Vraag 4 Opgelost!

Bepaal alle $n \in \mathbb N $ zodat er $m,d \in \mathbb N$ bestaan waarvoor geldt dat $5^n -1=m(m+1)(m+2)\cdots (m+2d-1).$

Vraag 5

hint: Als $(x_n)_{ n\ge 1}$ een convergerende rij van getallen uit $\mathbb{R}$ is met limiet $L$, is ook $lim_{n \to \infty} \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=L.$
**
$(a)$ Beschouw de rij $(x_n)_{ n\ge 1}$ gedefinieerd door $x_1=1$ en $x_{n+1}=\sqrt{x_1+x_2+\cdots+x_n}$ voor alle $n \ge 1.$
Bepaal de limiet van de rij $( \frac{ x_n}n)_{n \ge 1}$ als ze bestaat.
$(b)$ $(y_n)_n$ is een rij zodat $2012y_1 =1$ en $y_{n+1}=y_n-y_n^2$ voor alle $n \ge 1.$

Bepaal de limiet van de rij $( n y_n)_{n \ge 1}$ als ze bestaat.