PUMA 2021

Dag 1

Vraag 1

Het product van vier priemgetallen is tien keer zo groot als hun som. Wat is die som?

Vraag 2

Zij $A$ een $3 \times 3$-matrix met elementen uit de verzameling $\{0, \pi\}$.
Bepaal de maximale waarde van $\text{det}(A)$.

Vraag 3

Zij $P = \{(1, 2, 3), \dots ,(3, 2, 1)\} \cup\{(0, 0, 0)\}$ de verzameling der permutaties van $(1, 2, 3)$, gezien als punten in $\mathbb R^3$, samen met de oorsprong. Wat is het volume van het convex omhulsel $\text{conv}(P)$ van de punten in $P$ ?
Ter verduidelijking: $\text{conv}(P) = \{\sum_{i=1}^n \alpha_i\cdot x_i|x_i\in P,n\in\mathbb N, \sum_{i=1}^n\alpha_i=1,\alpha_i\ge 0\}$.

Vraag 4

Zij $(X,\le)$ een begrensde poset, d.w.z. $X$ is een verzameling met elementen $0$ en $1$ en $\le$ is een orderelatie op $X$ zodat $0 \le x$ en $x \le 1$ voor alle $x \in X$. Definieer voor $x, y \in X$ $$U(x, y) \colon = \{z\in X|x\le z \text{ en } y\le z\}$$ $$L(x, y) \colon = \{z\in X|z\le x \text{ en } z\le y\}.$$

Noem $X$ gecomplementeerd als er een operatie $'\colon X\rightarrow X$ bestaat zodat voor alle $x\in X$ $$(x')'=x,\quad U(x,x')=\{1\}\quad\text{en}\quad L(x,x')=\{0\}.$$

(Een klassiek voorbeeld van een gecomplementeerde poset is een machtsverzameling $(\mathcal P(A), \subseteq)$ met standaard complement $^c$.)

1. Bewijs dat in een gecomplementeerde poset met complement $'$ geldt dat $$\forall x,y\,\colon \,U(x,y)=\{1\} \;\Longrightarrow\; x'\le y$$ equivalent is met $$\forall x,y\,\colon \,L(x,y)=\{0\} \;\Longrightarrow\; x\le y'.$$
2. Geef een voorbeeld van een gecomplementeerde poset die niet aan de
   equivalente voorwaarden uit (a) voldoet.

Vraag 5

Bereken $$\int_{-1}^1\frac{x^{2020}}{1+2020^x}\,\mathrm{d} x$$