PUMA 2009

Vraag 1 Opgelost!

Zij $f \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ een functie. Zijn onderstaande uitspraken waar of vals? Bewijs de correcte en geef een tegenvoorbeeld voor de valse.

1. Als $f$ injectief en surjectief is, dan is $f$ strikt monotoon.
2. Als $f$ surjectief en strikt monotoon is, dan is $f$ injectief.
3. Als $f$ injectief en strikt monotoon is, dan is $f$ surjectief.

Voor de volledigheid: Een functie $f \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ is strikt monotoon wanneer $f$ is ofwel strikt stijgend $$\forall x_1, x_2 \in \mathbb{R} (x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)),$$ ofwel strikt dalend $$\forall x_1, x_2 \in \mathbb{R} (x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)).$$

Vraag 2 Opgelost!

Op een school zitten 2009 studenten, elke twee studenten zijn ofwel bevriend met elkaar, ofwel niet bevriend met elkaar. Een drugshandelaar wil nu enkele studenten omkopen om op die school te dealen. Hij wil dit zodanig doen dat twee dealers nooit bevriend zijn met elkaar, maar wel iedere niet-dealende student bevriend is met minstens één dealer. Toon aan dat als hij zijn dealers goed kiest (en iedereen omkoopbaar is), dit altijd mogelijk is, ongeacht wie er juist met wie bevriend is.

Vraag 3 Opgelost!

Bestaat er een continue functie $f \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ zodanig dat voor elke $a \in \mathbb{R}$ de vergelijking $f(x) = a$ precies drie verschillende reële oplossingen heeft?

Vraag 4 Opgelost!

1. Zij $V = \mathbb{R}^{2008}$ en zij $A$ een niet-singuliere $2008 \times 2008$ matrix. Bestaat er noodzakelijk een rechte door de oorsprong die door $A$ op zichzelf afgebeeld wordt?
2. Zij $V = \mathbb{R}^{2009}$ en zij $A$ een niet-singuliere $2009 \times 2009$ matrix. Bestaat er noodzakelijk een rechte door de oorsprong die door $A$ op zichzelf afgebeeld wordt?

Ter info: In een reële vectorruimte $V$ noemen we $\mathbb{R}\vec{v} = \{c\vec{v} c \in \mathbb{R}\}$ de rechte opgespannen door de vector $\vec{v}$. De rechten $\mathbb{R}\vec{v}$ met $\vec{v} \in V$ zijn meetkundig gezien dus precies de rechten door de oorsprong. Als $A$ een matrix is die op $V$ inwerkt, dan zeggen we dat $A$ de rechte $\mathbb{R}\vec{v}$afbeeldt op de rechte $\mathbb{R}(A\vec{v})$.

Vraag 5 Opgelost!

In Projectivistan liggen een aantal bushaltes, en door elk van die haltes lopen meerdere buslijnen. Elke buslijn heeft precies 9 haltes, en voor elke twee bushaltes is er precies één buslijn die in beide stopt. Bovendien hebben elke twee buslijnen precies één halte gemeen. Door recente incidenten wil de politie vaste agenten plaatsen om de veiligheid te verhogen. Ze plaatst in 10 bushaltes een agent, op zodanige wijze dat er nooit drie agenten op dezelfde buslijn staan.

1. Toon aan dat er door elke halte precies 9 buslijnen gaan.
2. Startend in een willekeurige halte zonder agent, op hoeveel buslijnen door die halte staan twee agenten? Eén agent? Geen agenten?
3. Als er al negen agenten geplaatst zijn, met geen drie agenten op eenzelfde buslijn, toon aan dat er dan altijd een halte is waar men de tiende kan plaatsen zonder drie agenten op dezelfde buslijn te hebben.

Een iets kleinere variant, met 3 haltes per buslijn en 4 agenten, kan gevonden worden in het PRIME-logo. Plaatsen we agenten op haltes 1, 3, 5, 7 dan lopen door elke halte waarop een agent staat, twee lijnen met twee agenten, nul lijnen met één agent één lijn met nul agenten.

Vraag 6 Opgelost!

De loterij van Decimalië geeft formulieren uit waarop je 10 cijfers kan invullen (bv. $0000000000$ of $0123456789$ of $9486344992$). Je "wint" de lotto zodra je een lotje hebt dat minstens twee cijfers juist heeft. Vind een combinatie van 14 invulmogelijkheden, zodat als je deze invult je met zekerheid minstens één maal "wint".